Matematicas Discretas - 2.2 Algunos conjuntos especiales

Unión

Diagrama de Venn que ilustra $Acup B$

Para cada par de conjuntos $A$ y $B$ existe un conjunto que se denota como $Acup B$ el cual contiene todos los elementos de $A$ y de $B$ . De manera más general, para cada conjunto $S$ existe otro conjunto denotado como $bigcup S$ de manera que sus elementos son todos los $xin X$ tales que $Xin S$ . De esta manera $Acup B$ es el caso especial donde $S={A,B~}$ .

Es claro que el hecho de que un elemento $x$ pertenezca a $Acup B$ es condición necesaria y suficiente para afirmar que $x$ es un elemento de $A$ o al menos de $B$ . Es decir

$xin(Acup B)iff(xin A)vee(xin B)$

Ejemplos: si tenemos los conjuntos

$~A= {triangle, bigcirc, 6}$

$~B= {star, 6, dagger, square}$

$~C= {square, 14, star, clubsuit}$

$~S={A,B,C}$

Entonces

$Acup B = {triangle,bigcirc,6,star,dagger,square}$

$Acup C = {triangle,bigcirc,6,square,14,star,clubsuit}$

$bigcup S={triangle,bigcirc,6,star,dagger,square,14,clubsuit}$

$~A cup emptyset= A$

$~A cup A = A$

Intersección

Diagrama de Venn que ilustra $Acap B$

Los elementos comunes a $~A$ y $~B$ forman un conjunto denominado intersección de $~A$ y $~B$ , representado por $Acap B$ . Es decir, $Acap B$ es el conjunto que contiene a todos los elementos de $A$ que al mismo tiempo están en $B$ :

$Acap B = {xin A:xin B}$ .

Si dos conjuntos $~A$ y $~B$ son tales que $Acap B =emptyset$ , entonces $~A$ y $~B$ se dice que son conjuntos disjuntos.

Es claro que el hecho de que $xin Acap B$ es condición necesaria y suficiente para afirmar que $xin A$ y $xin B$ . Es decir

$xin(Acap B)iff (xin A)wedge(xin B)$

Ejemplos: si tenemos los conjuntos

$~A= {2, 4, 6}$

$~B= {4, 6, 8, 10}$

$~C= {10, 14, 16, 26}$

Entonces:

$Acap B = {4,6}$

$Acap C = emptyset$

$Acap emptyset = emptyset$

$Acap A = A$

Diferencia

Diagrama de Venn que muestra

A - B

que muestra

B - A

Los elementos de un conjunto $~A$ que no se encuentran en otro conjunto $~B$ , forman otro conjunto llamado diferencia de $~A$ y $~B$ , representado por $~Asetminus B$ . Es decir:

$Asetminus B= {xin A:xnotin B}$ .

o dicho de otra manera:

$xin(Asetminus B)iff (xin A) wedge (xnotin B)$

Algunas personas prefieren denotar la diferencia de $A~$ y $B~$ como $A-B~$ .

Una propiedad interesante de la diferencia es que

$Acap B=Asetminus(Asetminus B)$

eso es porque

$begin{array}{rcl} xin Acap B & iff & (xin A) wedge (xin B)\ &iff& (xin A) wedge (xnotin Asetminus B)\ &iff& xin Asetminus (Asetminus B) end{array}$

Ejemplos: Sin importar cual conjunto $A$ elija usted, siempre se cumple

$Asetminusemptyset = A$

$emptysetsetminus A = emptyset$

${0,1,2,3}setminus{3,2}={0,1}$

Complemento

El complemento de un conjunto $A$ , es el conjunto de los elementos que pertenecen a algún conjunto $U$ pero no pertenecen a $A$ , que lo representaremos por $A^complement$ . Es decir

$A^complement=Usetminus A$

El conjunto complemento siempre lo es respecto al conjunto universal que estamos tratando, esto es, si hablamos de números enteros, y definimos el conjunto de los números pares, el conjunto complemento de los números pares, es el formado por los números no pares. Si estamos hablando de personas, y definimos el conjunto de las personas rubias, el conjunto complementario es el de las personas no rubias.

En vista de que $Asubseteq U$ y $Bsubseteq U$ , entonces

$xin left (Asetminus Bright) iff xin left(Acap B^complementright)$ ,

de manera que

$Asetminus B=Acap B^complement$

Pero también

$begin{array}{rcl} xin left (Acap B^complementright ) & iff & xin A wedge xin B^complement )\ &iff& xin B^complement wedge xin A\ &iff& xin B^complement wedge xnotin A^complement\ &iff& x inleft (B^complementsetminus A^complementright) end{array}$

de modo que

$~Asetminus B = left (B^complementsetminus A^complementright)$

Diferencia simétrica

Los elementos de dos conjuntos,A y B a excepción de aquellos que se encuentran en el área de intersección de dichos conjuntos se define la diferencia simétrica.

$BDelta A = left (Bsetminus Aright )cupleft (Asetminus Bright )$